બે લંબકોણીય વર્તુળો એવા છે કે એકનું ક્ષેત્રફળ બીજાના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે. જો નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ હોય,તો તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે?

ધારો કે $A(1, 2)$ એ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે અને $3$ તેની ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $B(-1, -1)$ એ બીજા વર્તુળ $S^{\prime}$ નું કેન્દ્ર છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે. જો વર્તુળો $S$ અને $S^{\prime}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,તો $r$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો વર્તુળ $S=0$ એ વર્તુળો $x^2+y^2-2x+6y=0$,$x^2+y^2-4x-2y+6=0$ અને $x^2+y^2-12x+2y+3=0$ ને લંબચ્છેદી હોય,તો $S=0$ પરના બિંદુ $(0,3)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ શું થાય?

જો સીધી રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ને $A$ અને $B$ માં છેદે,તો વ્યાસ $\overline{AB}$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ શું થાય?

ત્રણ વર્તુળો ધ્યાનમાં લો: $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}-6x-6y+4=0$,$S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}-2x-4y+3=0$,અને $S_{3} \equiv x^{2}+y^{2}+2kx+2y+1=0$. જો આ ત્રણ વર્તુળોનું રેડિકલ કેન્દ્ર અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય,તો નીચેનામાંથી $k$ ની કઈ કિંમત ન હોઈ શકે?

બે વર્તુળો $x^2+y^2-8x+2y=0$ અને $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?